Esej: Svatý grál na dosah

14. 5. 2017

Autor: Vojtěch Velický

Nečekaná souvislost s kvantovou fyzikou nabízí vyřešení nejtrvanlivějšího problému moderní matematiky.

Do sálu Druhého mezinárodního kongresu matematiků v Paříži vkráčel muž s nápadným kloboukem a listem papíru, na němž měl soupis deseti stručně formulovaných matematických problémů. Psal se 8. srpen roku 1900, tím mužem byl německý matematik David Hilbert a snaha o vyřešení oněch problémů měla udávat směr, jímž by se královna věd ve 20. století ubírala.

Zformulování deseti problémů mělo takový úspěch, že to Hilberta ponouklo k rychlému sepsání dalších třinácti problémů. Měl přitom neuvěřitelně přesný odhad: každá z odpovědí na sedmnáct dnes již vyřešených problémů přinesla matematický průlom.

O sto let později Hilberta napodobil americký Clayův matematický ústav. Formuloval sedm nejpalčivějších problémů dnešní matematiky (viz box Sedm nepolapitelných) a na vyřešení každého z nich vypsal pěkně po americku odměnu - takzvanou Cenu tisíciletí ve výši jednoho milionu dolarů.

Jeden ze zmíněných hlavolamů osvědčil obzvláštní trvanlivost, protože figuruje v obou seznamech, Hilbertově i Clayově. Je jím Riemannova hypotéza, jež už od roku 1859 odhaduje, kolik je v určitém úseku číselné řady prvočísel (viz box). Ačkoli v praxi hypotéza funguje, dodnes jí schází teoretický důkaz. Matematické špičky považují jeho nalezení za ústřední současný problém své branže.

Co tvrdí Riemannova hypotéza
Na vodorovné ose jsou běžná (reálná) čísla, na svislé čísla imaginární (jimž matematici říkají „i“); ta vzniknou tak, že takové běžné číslo (říkejme mu třeba „a“) vynásobíte odmocninou z minus jedné. Riemann sestrojil funkci - tedy vzoreček, do něhož na jednom konci vložíte číslo a na druhém konci vám vyleze číslo jiné - a nazval ji řeckým písmenem zéta; zapisuje se to jako Z(s). Ta pracuje pro změnu s čísly komplexními, která jsou vždy dvousložková: k běžnému číslu přičtete číslo imaginární. „Na výstupu“ se někdy objeví nula, pro matematika vždy prominentní číslo; v tomto případě se z počtu a umístění nul odvozuje příslušný počet prvočísel v příslušné části číselné osy, z níž pocházejí vstupní hodnoty. Tahle funkce Z(s) generuje dvě skupiny takových výsledných nul: první při zadání jakéhokoli komplexního čísla, jehož reálnou složkou je sudé záporné číslo, jako -2 nebo -4. Takovým nulám se říká triviální. O prvočíslech neříkají nic. Druhá skupina nul netriviálních je zajímavější: má tu vlastnost, že reálná složka zadaného komplexního čísla má vždycky hodnotu 0,5. Právě tyhle nuly určují počet prvočísel. Vtip je v tom, že není jasné, proč to tak je a jestli to tak funguje pro všechny netriviální nuly. Riemannova hypotéza tvrdí, že ano; matematici si nad důkazem a jeho zdůvodněním lámou hlavu přes 150 let.

Co tvrdí Riemannova hypotéza

Na vodorovné ose jsou běžná (reálná) čísla, na svislé čísla imaginární (jimž matematici říkají „i“); ta vzniknou tak, že takové běžné číslo (říkejme mu třeba „a“) vynásobíte odmocninou z minus jedné. Riemann sestrojil funkci - tedy vzoreček, do něhož na jednom konci vložíte číslo a na druhém konci vám vyleze číslo jiné - a nazval ji řeckým písmenem zéta; zapisuje se to jako Z(s). Ta pracuje pro změnu s čísly komplexními, která jsou vždy dvousložková: k běžnému číslu přičtete číslo imaginární.

„Na výstupu“ se někdy objeví nula, pro matematika vždy prominentní číslo; v tomto případě se z počtu a umístění nul odvozuje příslušný počet prvočísel v příslušné části číselné osy, z níž pocházejí vstupní hodnoty.
Tahle funkce Z(s) generuje dvě skupiny takových výsledných nul: první při zadání jakéhokoli komplexního čísla, jehož reálnou složkou je sudé záporné číslo, jako -2 nebo -4. Takovým nulám se říká triviální. O prvočíslech neříkají nic.

Druhá skupina nul netriviálních je zajímavější: má tu vlastnost, že reálná složka zadaného komplexního čísla má vždycky hodnotu 0,5. Právě tyhle nuly určují počet prvočísel. Vtip je v tom, že není jasné, proč to tak je a jestli to tak funguje pro všechny netriviální nuly. Riemannova hypotéza tvrdí, že ano; matematici si nad důkazem a jeho zdůvodněním lámou hlavu přes 150 let.

Prvočísla jsou sexy

Laikovi to na první pohled může připadat jako přehnaná starost. Prvočísel je pro každého dost (počítají se v bilionech), a co na t om sejde, kde přesně jsou? První pohled ovšem klame; například váš mobilní telefon by nefungoval, nebýt znalosti jistých vlastností distribuce prvočísel. Díky ní lze například odbourávat šumy nebo přenášet na jedné vlnové frekvenci více hovorů, aniž by se navzájem rušily. Předpokládaná platnost Riemannovy hypotézy je také klíčová pro některé typy digitálního šifrování.

Tím se zdánlivě šedý svět matematické teorie ocitá přímo v centru pučení zeleného stromu života (za metaforu děkujeme J. W. Goethovi). Platí to doslova. Lidé zkoumající teorii prvočísel jsou například v hledáčku americké bezpečnostní superagentury NSA, jež je největším světovým zaměstnavatelem teoretických matematiků. Prvočísla jsou natolik sexy, že se NSA dokonce pravidelně pokouší celé oblasti jejich výzkumu prohlásit za tajné, tedy opatřit je jakýmsi vědeckým ekvivalentem pásu cudnosti (dosud neúspěšně, což matematikům paradoxně slouží ke cti).

Kvantová pomoc

Proto když v roce 1999 přišli matematičtí fyzikové Michael Berry a Jonathan Keating s nápadem, že by rozmístění zmíněných Riemannových netriviálních nul mohlo odpovídat rozmístění energetických hodnot některých kvantových systémů, bylo to lákavé i zvláštní najednou. Zvláštní proto, že teoretická matematika dostala pomocnou ruku z jiného oboru, lákavé z důvodů zjevných. Stačilo jen najít takový kvantový systém, který by prvočíselnému vzorci odpovídal.

Jeho hledáním se zabývali matematici i fyzikové po celých následujících osmnáct let. A letos v březnu našli - možná. Carl Bender (Washington University v St. Louis), Dorje Brody (Brunel University London) a Markus Muller (University of Western Ontario) jej uveřejnili v publikaci Physical Review Letters, ačkoli sami přiznávají, že je třeba ještě další práce s dokazováním, že jejich důkaz o platnosti Riemannovy hypotézy skutečně důkazem je.

Tak či onak je zřejmé, že jsme na prahu dosud nejpřesvědčivějšího vyjádření poznání, že i ty nejvyšší abstrakce teoretické matematiky nacházejí svůj předobraz v reálném světě, jakkoli nám principy jeho fungování beze zbytku známy nejsou. Dostanou-li Bender, Brody a Muller slíbený milion dolarů, budou to dobře investované peníze.

Sedm (dnes jen šest) nepolapitelných
Rádi byste přišli k šesti milionům dolarů (a jen tak mimochodem postrčili exaktní vědy o slušný kus kupředu)? Stačí, když rozlousknete šest z následujících sedmi oříšků, jež i s řečenou odměnou stanovil v roce 2000 americký Clay Mathematics Institute.
1. Riemannova hypotéza: Jak je to s prvočísly? Jediný dosud nevyřešený problém z Hilbertova seznamu z roku 1900 - a dost možná vůbec nejvýznamnější nevyřešený problém současné matematiky. Kolik je prvočísel, proč a jaký je řád jejich výskytu mezi ostatními čísly?
2. Yangova-Millsova hypotéza: Proč má elektron hmotnost? Yangova-Millsova hypotéza pochází z kvantové fyziky; autoři kvůli ní sestrojili zvláštní rovnice, aby popsali všechny přírodní síly kromě gravitace. Rovnice fungují v praxi výborně, jen nikdo neví, proč to tak je. Kdo na to přijde, bude prvním člověkem, jenž se dozví, jak je možné, že elektron něco váží, ačkoli by tomu tak podle všeho být nemělo.
3. P versus NP: Jak složitý je složitý problém? Jediný z problémů tisíciletí, který se týká počítačů. Ajťáci dělí výpočetní úlohy do dvou hlavních kategorií: na ty, jež mohou být úspěšně vyřešeny strojem (úlohy kategorie P), a na jiné, jejichž vyřešení počítačem by vyžadovalo miliony let strojové práce (kategorie E). A pak je tu ještě něco mezi; možná (NP). Jinými slovy (matematické problémy mají půvabnou schopnost zjevovat se v různých navzájem zdánlivě nijak nesouvisejících podobách): když je možné snadno zjistit, jestli řešení problému je správné, nemělo by být snadné i řešení samotné? Pro laickou odpověď si vezměte do ruky Rubikovu kostku, pro odbornou Hamiltonův model logistického problému, jak najít co nejkratší cestu k více bodům, aniž byste se vraceli. Odpověď je pokaždé stejná: poznat správnost řešení je vždycky jednodušší než na řešení přijít. Ale co kdyby?
4. Navierovy-Stokesovy rovnice: O pohybu tekutin Tyto rovnice popisují pohyb kapalin a plynů, třeba vody kolem lodního trupu nebo vzduchu kolem křídla letadla. (Patří do kategorie parciálních diferenciálních rovnic, je-li to komu co platné.) Má to podobný háček jako Yangovy a Millsovy rovnice: ačkoli v praxi je na ně spoleh, matematicky nesedí. Dosud nikdo nepřišel ani na to, jestli nějaké řešení mají, natož na to, jaké by mohlo být.
5. Poincarého domněnka: Jablko a gumička Dnes již Poincarého věta, protože tenhle problém je naopak jediným ze sedmi uvedených hlavolamů, který řešení našel. Vezměte jablko, přetáhněte přes ně v nejširším místě gumičku a pomalu ji stahujte, až se dostanete k bubáku. Jednoduché? O. k., tak to teď udělejte se čtyřrozměrným jablkem. Ruský matematik Grigorij Perelman to dokázal (ale milion dolarů za vyřešení odmítl - prý to není fér vůči jeho předchůdcům).
6. Hodgeova domněnka: Kolik kvádrů se vám vejde do hlavy? Jeden z chybějících článků současné topologie (to je ten obor, podle něhož má překroucená papírová „Mobiova“ páska jen jednu hranu a jednu stranu, ačkoli to odporuje rozumu). Hodgeova domněnka má najít odpověď na otázku, jestli je možné mentálním „slepováním“ geometrických tvarů beze zbytku popsat každý objekt.
7. Birchova a Swinnerton-Dyerova domněnka Někdo ji popsal jako „euklidovskou matematiku pro 21. století“. Zabývá se konečnými a nekonečnými řešeními algebraických rovnic a matematici sami přiznávají, že mimo prvoligovou matematiku nemá její důkaz či vyvrácení žádný vysledovatelný konkrétní význam. Tedy - zatím.